Республика может быть религиозной (например США), может быть атеистической (Первая Республика Франция (которая сразу после Великой Французской революции)... принцип не меняется: люди (не зависимо верящие в бога или не верящие или и те и другие вместе) выбирают из своей среды достойного товарища/группу товарищей и наделяют его полномочиями собой руководить (очень упрощённо)...
Монархия возможна только в религиозном контексте: Бог выбрал самого достойного (и его потомков сразу) - "помазанника божьего" и вручил ему власть над страной/народом - "престол", (иногда абсолютную власть "казнить и миловать") и на "всё воля божия"... В современном обществе людей нерелигиозных всё больше и больше (хорошо это или плохо вопрос отдельный)... И у таких людей возникает резонный вопрос "Вот старый уважаемый король умер и коронуют его сына - известного пьяницу и развратника с достоверно известными низкими умственными способностями и садистскими наклонностями... Куда он поведёт страну
и почему я и мои близкие должны подчинятся его приказам-указам ?" (ситуация вовсе не надуманно-риторическая - такая ситуация была несколько лет назад в Таиланде)... Наполеон когда ему надоело быть просто Первым пожизненным консулом Французской республики (как я уже упоминал республики атеистической) и провозгласил себя Императором Французов первое что сделал (после того как заказал себе корону и горностаевую мантию) - восстановил отношения с католической церковью, стал платить государственное жалование сельским кюре и даже хотел перевести Папу из Рима в Париж... Даже там где монархия конституционная и монарх по сути никакой властью не обладает содержание монарха и его семейства обходится казне в круглую сумму и у определённой части подданных-налогоплательщиков возникают вопросы "А почему на мои кровные содержат каких-то паразитов ряженых?" Но мягкотелые европейцы (и в глубине души очень религиозные японцы) сохраняют свои монархии как туристический аттракцион...