Подарками во ВКонтакте занимаются те же иллюстраторы, которые рисуют стикеры и прочие графические элементы. Самые известные, наверное, — Андрей Савченко (автор Спотти и Faces) и Елена Савченко (автор Персика, Хомяка, Котика и Лисы). Конечно, есть и другие (проще всего узнать их имена в подписях к наборам стикеров).
Как? В кореле и фотошопе, мышкой и с планшета — у каждого, думаю, есть свои предпочтения.
Поверхностный гуглинг выдал старенькое интервью как раз с двумя вышеупомянутыми иллюстраторами, там можно почитать про их труд подробнее: vk.com
Нет. Они публикуются порой. То есть они выкатывают пост, в котором ведётся стрим.