Каким образом такие программы, как Kate Mobile и vk feed, позволяют сидеть вконтакте в режиме «невидимки»?

Они просто "перекрывают" связь с сервером. Есть методы API account.setOffline и account.setOnline. Клиент посылает первый метод и, в дальнейшем, не посылает второй. При прошлом разработчике в официальном клиенте тоже можно было включить "невидимку" и отключить рекламу(сейчас тоже можно, извините). Эх, золотое время...