Конкретно в ВК — никак. Все приложения, которые предлагают эту функцию, или врут или используют кэш. Кстати, в мобильной версии есть сохраненная музыка. Там можно слушать оффлайн. Однако, это все тот же кэш.
Вот почему надо переходить на SoundHost там с музыкой все норм.
SoundHost – это онлайн-платформа (мобильная и веб), которая позволяет слушать любимую музыку онлайн, следить за творчеством артистов и за музыкальными событиями.
Прекрасно работает @vkmusicbot в телеграме. К управлению надо привыкнуть, но музыка сохраняется в кэше телеграма и есть возможность прослушивать её оффлайн (как в приложении vk до изменений).
Лично я знаю лишь одно приложение с обходом запрета ВК на музыку - VK Coffee. Там стоит функция обхода блокировки, поэтому можно искать музыку, слушать без ограничений.