Как правильно использовать артикли в английском языке?

Ой, очень легко. Если предмет/лицо упоминается впервые в разговоре - то это всегда a/an, а если об этом предмете продолжается разговор - то он дальше уже употребляется с the: I saw a black cat yesterday! - Was it big? - What was big? - The cat you saw yesterday?
Если говорящий упоминает предмет/живое существо впервые, а использует с ним артикль the - это значит, предмет должен быть уже по умолчанию знаком собеседнику: I saw the black cat yesterday! - Did you feed it again? Это может быть не просто человек/предмет, о котором уже говорили, а что-то, что существует в единственном числе: the Universe, the Sun, the Earth, the Internet, the President; the mother; the floor, the door, the ceiling и пр.
А в некоторых случаях артикль the просто используется всегда - например, в географических названиях, например, в названиях стран, включающих Federation, Republic, Union, States и т.п., т.е. Russia - но the Russian Federation, Great Britain - но The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland; America - но The United States of America. Реки - всегда с the: the Volga river, the Danube, the Mississippi; горные хребты тоже - the Alps, the Andes.
Иногда логика в употреблении артиклей теряется совершенно, тогда фразу надо просто выучить: например, in the evening, но at night (без всякого артикля всегда).
А разницу между a/an знаете же, да? Если слово начинается с согласной - ставится a, если с гласной - an.
Ииии тут есть две подставы: слово на письме может начинаться с гласной, а произноситься - с согласной, или наоборот, и тогда артикль будет зависеть от того, как слово не пишется, а ПРОИЗНОСИТСЯ: a university, an hour. А вторая засада - если перед словом есть прилагательные, то артикль ставится перед ними, и зависит уже от начальной буквы того прилагательного, перед которым стоит, а не того существительного, к которому относится: a very nice lady, an interesting film, ну и то же правило - главное, как это прилагательное произносится: an honest man, a European country.