Как на своем компьютере локально сохранить код элемента, например на веб странице изменить какой-нибудь текст, который при перезагрузки не исчезал?

Люди ниже советуют искать/писать расширение для браузера, хотя всё гораздо проще, и, конечно, есть готовые инструменты. Например, устанавливаете Fiddler, переходите во вкладку AutoResponder, и указываете адрес страницы и путь к её загруженной и изменённой копии, которая должна показываться вместо получаемого с сервера оригинала.