Просто если хостить свой сайт на своем сервере, там же есть и свой домен.
Но если какой то другой человек укажет тоже самое доменное имя и попытается зарегистрировать его, компания скажет что это доменное имя занято? Или он все равно сможет зарегистрировать домен?
Вам в любом случае нужно будет регистрировать доменное имя для вашего сайта. Иначе как он будет доступен в интернете?
Если коротко, то доменное имя это синоним IP-адреса вашего сервера.
После регистрации доменного имени вы сможете управлять к какому IP адресу (серверу) это имя будет привязано. Эта связка управляется DNS-серверами. Права на этот домен будут у вас на основании договора с регистратором доменных имен. И никто другой не может воспользоваться этим доменным именем.
Обычно, компании, предоставляющие услуги хостинга, совмещают функции регистратора доменных имен, и всю рутинную работу берут на себя.
Если у вас собственный сервер, в смысле - железо (стоит в комнате и подключено проводом к сети), то вам нужно изучить тему гораздо глубже, чем прочитать ответ здесь.
Только в одном случае вам не нужна регистрация - если ваш сайт будет доступен в локальной сети, на каждом компьютере которой будет указано, что по такому то имени нужно открывать в браузере такой то IP.
Указываются такие соответствия в файле hosts
Надеюсь вы понимаете, что в случае с глобальной сетью Интернет, прописать вручную каждому пользователю инструкцию в файл невозможно. Именно поэтому, в Интернете и нужно регистрировать доменное имя.
Простой и достаточно хороший ответ. Ссылки в качестве примера.
Покупая домен важно понимать что выбранное имя будет представлять ваш бренд услугу и компанию в целом. Зарегистрировать домен можно у реселлера, но дешевле буде у регистратора доменов.