Если вселенная бесконечна, значит ли это, что где-то в данный момент моя точная копия задает точно такой же вопрос?

А давайте посчитаем, предварительно исключив из вопроса слова: “в данный момент” и “бесконечность”. Дело в том, что “в данный момент” не определяет длительность процесса и сразу приводит к отрицательному ответу на вопрос. Вселенная же не может быть бесконечной.  Её возраст более или менее известен, как и приближённо известно количество барионной материи в ней (звезды, планеты, газ). "Бесконечность" привела бы к гравитационному коллапсу всю Вселенную в первые же секунды её рождения.
Итак, рассчитаем вероятность, что где-то в наблюдаемой Вселенной точная копия автора вопроса задаёт (задал, задаст) точно такой же вопрос?

⋇ Вселенная содержит N ~ 10²² звёзд (~10¹¹ галактик, ~10¹¹ звёзд в каждом).
⋇ Верхний предел вероятности существования точной копии планеты Земля оценим из результатов поисков экзопланет, как w ~ 10⁻⁴ для каждой звезды.
⋇ Вероятность существования копии автора вопроса на Земле известна и равна приблизительно q ~ 10⁻⁹. Однако, одновременно с этим нужно учесть вероятность точной копии Тони Самсоновой, которая должна организовать на далекой Землеподoбнoй планете во Вселенной проект: TheQuestion.ru, что даёт уже совместную вероятность Q = q² ~ 10⁻¹⁸.

Вот и окончательный ответ:  Да, с вероятностью P = w⋅Q ~ 10⁻²² на звезду. Число таких случаев во Вселенной будет равно m = N⋅P ~ 1. Отмечу, что расчёты сделаны в приближении теории Панспермии и одновременного зарождения всех звёзд и планет во Вселенной.