"Зазвездиться" - жаргонизм; значит, "стать известным/известной и зазнаться из-за этого".
Пример:
Баба Клава удручённо кивнула куда-то в сторону:
Вот Людка-то, внучка моя, как в Москву умотала, начала в театрах выступать, совсем зазвездилась, забыла родню!