Что происходит с носками если их носить неделю? А месяц?

Да просто обычными носками и останутся, но:
- если вы ходите только в носках и по дому, то скорее всего на стопе образуется слой, корочка домашней грязи (пыль и всякие там "случайно упало и наступил")
- если вы ходите в носках в ботинках, то такая корочка образуется еще быстрее, потому что уличная пыль и случайная грязь + дождевая вода всё это способствует.
- если вы не обстригаете ногти (а судя по вопросу такое возможно), то на носке носка образуются дырки))))
- если вы ходите ну очень много дырки могут образоваться даже на пятках. 

Конечно, не стоит проводить такие опыты из гигиенических соображений, но если ситуация вас вынуждает...