Упрощенно говоря, в фундаменте математики сейчас лежат теория множеств и логика, но так было не всегда и не всегда будет.
Поначалу, когда математики только начинали возводить здание своей науки, эта бедная хижина не нуждалась в фундаменте. Понятий и правил было совсем мало, все связи между ними вполне умещались в одной голове, не было нужды их систематизировать или упорядочивать.
Древние греки строили математику как науку, в которой все новые теоремы выводятся из старых, а те – из еще более старых, и так далее. Где-то у этой цепочки рассуждений должно быть начало.
Первым положил начало Евклид. Он подвел под хижину фундамент: создал аксиоматику. Евклид зафиксировал самые базовые понятия вроде точки или прямой, а также аксиомы -- базовые законы, которые этими понятиями управляют. Аксиомы считались очевидными, их не надо было доказывать; зато из них можно было одну за другой выводить интересные теоремы. На Евклидовом фундаменте строили геометрию многие поколения математиков после него; постепенно бедная хижина превратилась в прочное здание. «Начала» Евклида -- самая издаваемая светская (нерелигиозная) книга всех времен и народов.
В XIX веке были построены неевклидовы геометрии, создан математический анализ. Новой математике потребовался новый, более прочный фундамент. На рубеже XIX и XX веков Давид Гильберт задумался о том, каким он должен быть. Гильберт сформулировал основные требования к аксиоматике и поставил цель подвести аксиоматические основания под всю имеющуюся математику.
Если мы представим себе математику как стройку, то увидим, что на всех этажах идет работа, снуют строители… но в начале XX века их было особенно много в самом низу, в основании всего здания. Оно зарывалось вглубь, шла тотальная перестройка фундамента – создавалась система аксиом и основных понятий. Для этого в математике есть две специальные ветви, две плиты фундамента – логика и теория множеств.
А в начале 30-х годов XX века Курт Гёдель доказал, что безупречной аксиоматики не бывает. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что если аксиоматика непротиворечива, то хотя можно выводить одну за другой все более сложные теоремы, но невозможно вывести ВСЕ истинные, неопровержимые утверждения. Обязательно найдутся такие, которые нельзя опровергнуть, но при этом нельзя и доказать. Это открытие ошеломило математиков: фундамент оказался с изъянами, но они все-таки научились с этим жить.
Здание нашей науки динамично. В нем появляются самые неожиданные пристройки, вроде теории узлов и кос или теории избирательных систем. Между разными крыльями здания математики строят переходы, связывая его воедино. На верхних этажах устроились прикладники, и им нет дела до подземных этажей, где тоже кипит работа, ведь здание растет не только ввысь и вширь, но и в глубину тоже.
Математике наверняка предстоят новые кризисы, и тогда придется засучить рукава, разработать новые инструменты и опять перестроить фундамент.
Советую прочитать на эту тему статью «Архитектура математики» http://mi.mathnet.ru/mp642
Прекрасный ответ!
А как вы точно определяете операцию сложения, чтобы можно было доказать теорему m+n=n+m?
Математика - это задачи. Слова "как" и "сколько"и "лучше", "хуже". Математика - не только опыт, но и мысль. Аксиомы - это вера и соглашение. Опровергает опыт. Не думал, что дальше - пропасть, шагнул и свалился в неизведанное.