Ну стоит начать с того, что нет такого понятия как "первый пилот". Есть first officer на английском- но это как раз второй пилот. И есть командир воздушного судна (КВС), на буржуйском- captain. Но это небольшое уточняющее отступление.
Переходя к самому вопросу. На современной технике с двухчленным экипажем обязанности разделяются на pilot flying и pilot monitoring. Как можно понять из названия, PF осуществляет непосредственное управление самолетом. PM же занимается связью, навигацией и ассистирует пилотирующему коллеге (чек-лист прочитать там, перепроверить, подсказать при необходимости...). К должностным категориям КВС- ВП это разделение не имеет никакого отношения. Если рейс в обе стороны выполняется одним экипажем- то обычно в одну сторону PF является один летчик, а в обратную- другой.
Таким образом, разница в обязанностях носит в значительной мере административно-формальный характер. КВС несет всю полноту ответственности за самолет, пассажиров и груз. Он инструктирует проводников, принимает самолет у технического персонала, уведомляется об особом характере груза (если такой есть) и т.д.
Так же командир принимает решения о том, сколько топлива необходимо на рейс, нужна ли противообледенительная обработка и, наконец, само решение на вылет. Однако руководящие документы предписывают при возникновении разногласий принимать наиболее безопасное решение. И если второй пилот (к примеру) аргументированно обоснует, что топлива нужно больше, чем хочет взять командир- топлива возьмут больше.
Я намеренно не рассматривал действия при взлете/посадке и в нештатных ситуациях, потому что в этих случаях они часто обусловлены компоновкой кабины (кому куда ближе тянуться). Их можно посмотреть во FCOM (flight crew operation manual) и QRH (quick reference handbook) поименительно к конкретному типу самолета.