Одного чтения классики для этого точно недостаточно. Идеальная грамотность - это, скорее, практический навык. Более-менее грамотно читать мы умеем уже классу к пятому. Но ведь остаются такие навыки, как речь и письмо. Их тоже нужно тренировать, чтобы чему-то научиться.
Когда читаем классику, внимательно анализируем язык автора, пишем рецензию на книгу (и не забываем проанализировать свою речь), затем можно обсудить книгу или идеи автора с априори грамотным собеседником.
Возможно, такой подход к работе с классикой действительно способен развить культуру речи.