Своя личность к разным людям, свой подход к каждому, нормально-ли?

Личность - это социальные качества человека, которые не даны от рождения и не образуют некую «неизменную сущность» человека, а вырабатываются, формируются в процессе социализации и изменяются, трансформируются в течение всей его жизни.

Личность человека рассматривается через совокупность ролей, которые выполняет человек в каждый данный период времени и на протяжении всей его жизни.

Когда Вы взаимодействуете с родителями, то выполняете социальную роль дочери, с учителем - роль школьницы, в классе - роль одноклассницы, с подругой - роль друга, с продавцом в магазине - роль покупателя, с кондуктором в транспорте - роль пассажира и т.д.

И как со всеми и в разных ситуациях Вы можете быть одинаковой?

Чем больше становится Ваше социальное окружение, тем больше социальных ролей Вы выполняете - это и есть социальная адаптация в процессе формирования многогранной личности.

Если человек является "неизменяемой сущностью", то это говорит о проблемах с его адаптацией, а в некоторых случаях и психической ненормальности.