Короткий ответ: да, можно.
При применении вакцины от COVID-19 на территории России информация о вакцинации вносится в Федеральный регистр привитых против новой коронавирусной инфекции, общий для всей страны.
Например, в Москве есть 11 поликлиник, куда могут обратиться жители других регионов для получения любого из компонентов вакцины.
Пунктов больше, т.к. у поликлиник могут быть филиалы (пункты в ТЦ, Моих документах и пр. это на самом деле филиалы городских поликлиник).
Ссылка по теме:
В регионах также должны быть поликлиники, принимающие жителей других регионов.
PS
минутка занудства: прививки (как и просто уколы) не ставят, их делают. Вакцины применяют.