Могу ли я поставить на учёт авто, если я пока не имею адреса постоянной прописки?

Можете. Даже если нет временной регистрации, то автомобиль зарегистрируют по месту нахождения, так называемая временная регистрация, но всегда есть нюансы. Уточняйте в местном МРЭО.