Зависит ли масса элементарной частицы от её скорости?

По современному определению, масса частицы — это "четырёхскаляр".

Четырёхскаляр, по определению, это физическая величина, которая не зависит от скорости.

В теории относительности используется четырёхмерная геометрия, в которой три измерения обычные, а четвёртое — это время. 

Движение в таком представлении — это поворот в плоскости время-одна из осей пространства. 

Некоторые физические (другие) величины оказались "четырёхвекторами", состоящими из пространственных компонент и временнОй. К таким величинам относится энергия-импульс. Энергия — это временнАя компонента четырёхвектора, а импульс — это (три) пространственные его компоненты. 

Длина четырёхвектора — это четырёхскаляр. 

Длина четырёхвектора энергии-импульса называется "масса", по определению.

Возможны и другие определения массы.