Формулировка вопроса, пожалуй, не совсем корректна. Гегель эксплицитно обозначает, что его исследование - логическое; но логика в гегелевском смысле - это, фактически, наука о Боге (Абсолютной Идее) до творения мира и как таковая не имеет ничего общего с тем, что понимается под логикой до и после Гегеля. Платон же вообще ни в Пармениде, ни где-либо еще не касается эксплицитно логической проблематики и говорить о "логике, данной Платоном" где бы то ни было - большой и опасный анахронизм. Общего у двух обозначенных в вопросе логик, пожалуй, только то, что ни та, ни другая не являются логиками.
Мы можем соскочить с неблагонадежного в данном случае слова "логика" и выбрать более нейтральное; что-нибудь вроде "способ рассуждения". Но и в этом случае вряд ли можно говорить о родстве второй части "Парменида" и "Науки логики". Гегель прямо дает понять, что он выводит онтологию доприродного бытия. Платон (если мы верим тому, что Парменид говорит Сократу на рубеже первой и второй частей) прямо указывает, что никаких "серьезных" теоретических намерений у него нет, и что все последующее - это не более чем упражнение в рассуждении. Изложение Гегеля откровенно догматическое, тогда как метод Платона - гипотетический - он последовательно выделяет восемь гипотез и смотрит, что последует при принятии каждой из них. Последующая неоплатоническая традиция (и вместе с ней большинство современных исследователей) были склонны не доверять тому, что прямо сказано у Платона насчет несерьезности дальнейших рассуждений "Парменида", и предполагать, что в них кроется какой-то глубочайший смысл, но такая интерпретация вовсе необязательна и, более того, гораздо менее естественна, чем если принимать слова Парменида за чистую монету (это объясняет, почему в случае абсолютно каждой гипотезы Парменид приходит к вороху подчеркнуто всеобъемлющих противоречий - обстоятельство для реальных рассуждений самого Платона абсолютно недопустимое, как видно из IV книги Государства, 436с sq.). Определенное сходство можно усмотреть в том, что и Гегель, и Платон постоянно приходят к противоречиям, но это сходство поверхностное: для Гегеля противоречие - это желанная цель, которая движет его рассуждение; для Платона - нечто принципиально иное; никакой движущей рассуждение роли противоречия, выводимые из гипотез "Парменида", не играют. Других оснований для сопоставления я придумать не могу, а те что есть - все против отождествления.