Честно говоря, думал, тут сразу же появятся чёткие лаконичные ответы. Потому что ничего особо сложного в теме нет. Но не тут-то было.
Надо понимать, что захват, с целью последующей колонизации, обширных территорий соседа и война по религиозным причинам - вещи отнюдь друг другу не противоречащие. Наоборот, под предлогом обращения "неверных" или еретиков разные народы в истории захватывали гигнатские территории.
Тевтонский Орден был во многом чем-то вроде государства (а потом он им и стал - Пруссией!). С русскими воевали по той же причине, по какой рубились с пруссами и литовцами. "Псы-рыцари" в основном были немцами. И их поведение ничуть не противоречило и военным операциям, ранее проведённым Генрихом Львом и Альбрехтом Медведем. Немецкая территория к востоку от Эльбы и до Одера - всё бывшие земли полабских славян. А потом и у поляков стали шаг за шагом пытаться отжать территории, хотя тут религия уже не могла быть непосредственным предлогом. Такой вот "Drang nach Osten"...
Да, и русские, и орденцы - христиане. Но уже какбе чуть разных конфессий. Которые очень скоро стали считаться едва ли не худшими врагами, чем магометане или язычники. Да что там разные конфессии? В середине XII века ирландцам как следует не повезло: ненадолго Папой Римским стал англичанин. За это недолгое время он успел благославить соотечественников на завоевание "Зелёного острова". Потому что у ирландцев церковь не вполне подчинялась Риму; даже без каких-то собственно коренных теологических расхождений. (Потом львиную долю своей истории англичане предъявляли ирладцам, что они католики и паписты, но это - уже другая история (с.))
В общем русские территории (а по большей части к тому времени катком прошлось монголо-татарское нашествие) казались немцам идеальным вариантом для захвата, с подходящим оправданием. Как и шведам. Новгород (тот, что сейчас Великий), кстати, был одной из важных торговых точек Ганзейского союза - ещё бонус.
Т.е., если бы на месте Новгородской республики жили какие-то балтийские или финнские племена, крестоносцы туда бы всё равно попёрлись, усиленно крестясь. Да хоть японцы! Правда, со славянскими народами, как (долгий, не отражённый в полной мере в истории, период) более слабыми соседями, у германцев всегда были довольно натянутые отношения - см. 3 абзац. Дополнительный стимул.