Можно было бы спросить "Зачем", если бы человек сам себе придумал такую потребность и стремился ее реализовать. Вопрос скорее, откуда берется потребность в самовыражении?
Природа потребности в самовыражении - базовые инстинкты человека. Один из таких инстинктов условно называют "инстинктом власти", не имея ввиду политическую власть. В широком смысле это означает природную потребность в контроле и преобразовании окружающего мира. Благодаря работе этого инстинкта человек обрел власть над природой, а затем отдельные люди смогли обрести власть над другими людьми. Люди стремятся контролировать все вокруг, потому что чем больше они контролируют, тем в более выгодном они положении, тем в большей безопасности.
Вообще это животный инстинкт, природная агрессия, которая предполагает желание получать желаемое немедленно. Но человек эволюционно выработал механизмы превращения этой энергии в социально приемлемые действия. Вся система воспитания человека направлена на то, чтобы подавить этот инстинкт и канализировать его энергию в нужное русло.
Первооткрывателем этих механизмов был Зигмунд Фрейд. Он создал концепцию структуры личности. Внизу "Ид" - бессознательное, которое живет по принципу удовольствия. В центре "Эго" - зона сознательного контроля. Сверху "Супер Эго" - система социальных запретов, которая помогает сдерживать бессознательные импульсы.
Вот борьба этих сил и превращает животные потребности в социальное приемлемое - желание самовыражаться.
Это упрощенное описание, а на самом деле все сложнее и много нюансов. У всех изначально разный потенциал, и организмы по-разному реагируют на социализацию.