Взыскатель после уплаты ему долга требует деньги за то, что он воспользовался адвокатом. Имеет ли право или это уже вымогательство?

Если суд выносит решение в пользу истца, то в его пользу с проигравшего ответчика взыскивают судебные расходы, в которые включают, в том числе, расходы на адвоката. В число расходов на ведение дела представителем могут включаться и те, которые понесены на подготовку документов на досудебной стадии.
Так что формально основание есть.
Другое дело, что суд может присудить расходы только в случае, если судом принято решение.
Соответственно, если долг возвращён без суда, процессуальной возможности принудительно взыскать судебные расходы не существует.
Если же деньги выплачены именно взыскателю (то есть лицу, в пользу которого судом принято решение, на который выдан исполнительный лист, предъявленный к принудительном исполнению), то основания для возмещения расходов есть. В этом случае обратите внимание, что заявление о распределении судебных расходов может быть подано в суд в течение 3 месяцев с даты принятия судом последнего судебного акта, которым дело рассмотрено по существу.

Более подробно про распределение судебных расходов можно прочитать на сайте проекта "Корпорациям и акционерам" по ссылке: http://corprf.ru/corporations/advokat-po-arbitrazhnyim-delam/vzyiskanie-sudebnyih-rashodov/