Всякая ли система математических аксиом ,начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна?
Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.
МатематикаЗадачи по математике+3
Анонимный вопрос · · 2,3 K
Однако, в 1931 году математик Кurt Gödel доказал, что даже в математической системе, которая является логически непротиворечивой и достаточно развитой, существуют утверждения, которые не могут быть доказаны или опровергнуты в рамках этой системы. Это известно как Теорема Гёделя о недостаточности.
Это означает, что в любой системе математических аксиом, начиная с определенного уровня сложности, есть некоторые утверждения, которые не могут быть доказаны или опровергнуты в рамках этой системы, хотя сама система не содержит противоречий. Кроме того, существуют различные математические системы, которые имеют разные аксиомы и правила доказательства, и каждая из них может иметь свои собственные ограничения и недостатки.
Итого, не всякая система математических аксиом может быть достаточно сложной и не иметь внутренних противоречий, но одновременно быть достаточно полной, то есть содержать все возможные истинные утверждения или решать все интересующие задачи.
Также существуют различные математические системы, которые предлагают различные подходы к анализу и доказательству, и каждая из них может быть полезна в своей специфической области применения.
1 эксперт не согласен
Евгений Кандзюба
14 янв 2023возражает
Эта Теорема известна, как Теорема о неполноте. Google translate?
Это одна из причин, почему Евклидова геометрия является одной из самых используемых систем математических аксиом в школьной и высшей математике.
Но, в математике существует множество различных систем аксиом, каждая из которых... Читать далее
"Лень - двигатель прогресса технического и регресса человеческого". КЕВ
Перейти на vk.com/e.kandzyuba
3 эксперта согласны
Maxim Vyalkov
17 янв 2023подтверждает
В общих чертах с некоторыми допущениями согласен. Дискуссию по частностям (ZFC) разводить не буду, так как это с... Читать дальше
Хороший ответ дал Евгений Кандзюба, но я вот ещё одну вещь хочу сказать.
Систем аксиом можно выдумать очень много и очень разных. При этом всегда есть два важных вопроса: 1. какая модель реализует данную систему аксиом (в... Читать далее
В качестве пропедевтики - норм!
Л.К.
В качестве неполной некатегоричной аксиоматики - аксиоматика булевской... Читать дальше
Все это - вздор.
Игра разума.
Если, что-то недоказуемо в одной аксиоматике, то обязательно доказуемо в другой, соседней.
Не надо зацикливаться на одной системе, в которой при желании можно найти парадокс.
Все парадоксы... Читать далее
"Если, что-то недоказуемо в одной аксиоматике, то обязательно доказуемо в другой, соседней.", это очень слабый... Читать дальше