Штаны, брюки, портки - синонимы, просто слова пришли к нам из разных языков. Но в единственном числе у нас прижилось только слово производное от слова штаны - слово "штанина".
Шорты - с английского "short" (короткий), то-есть короткие штаны.
Следственно, одна половинка коротких штанов также будет называться "штанина".
Очень непривычно так называть, но отдельное слово в русском языке не прижилось. Лучше всего говорить "штанина от шорт" или просто "штанина шорт".
Слышал также, что некоторые используют слово "шортина", что звучит достаточно адекватно.
Также нужно помнить, что язык - это достаточно гибкая структура и если какой-то формы слова нет, то можно выдумать (как делали наши деды) и если многие будут его использовать, то слово станет частью официального языка.