С точки зрения “школьной физики” как Вадим так и Владимир указали казалось бы правильный путь решения задачи. Этим решением заполнен интернет, и там же можно найти формулу для расчета заряда в центре квадрата, обеспечивающего равновесие системы.
Но всё на так просто. В физике понятие "равновесие" подразумевает именно устойчивое равновесие. Так вот, такая система зарядов не может находится в устойчивом равновесии даже в самом простом одномерном варианте, когда на линии между двумя одинаковыми зарядами установлен третий заряд с противоположным знаком.
Дело в том,что никакая конфигурация электрических зарядов не может оставаться в устойчивом (механическом) равновесии без каких-либо внешних (не электростатических) сил. Это теорема Ирншоу (Earnshaw), которая следует из Теоремы Гаусса в электродинамике.
Это означает, что все решения задач по равновесию различных конфигураций зарядов подразумевают неустойчивое равновесие (шар на конце иглы) и бесконечно малое возмущение системы, немедленно приведут к необратимому нарушению равновесия. К сожалению в школьных учебниках такие детали по-видимому не обсуждаются.