В дополнение к предыдущему ответу хотелось бы все-таки добавить немного конкретики. Римская церковь - канонически первая, prima sedes - первый престол. Это "престол Святого Петра", апостолы считали его главным. Вот, например, разъясняющая работа православного историка церкви:
Католики и православные согласны с тем, что с апостольских времен Церковь Рима признавалась первой среди поместных Церквей как Востока, так и Запада. Писания мужей апостольских ясно подтверждают этот факт. Рим, столица империи, быстро стал известен в ранней Церкви как место мученичества святых Петра и Павла (ср. Апок. 11:3-12). Он занимал исключительное место среди поместных Церквей и имел исключительное влияние.
Работа очень познавательна вся. В XI веке восточные церкви, формально подчиненные Риму, но работавшие в условиях, когда Западной римской империи уже не было, а их, Восточная римская империя, еще была, конечно возгордились и всюду насаждали свой собственный церковный обряд и канон. Папа Лев IX попытался с ними бороться выговорами, но не получилось, и восточные церкви стали восточными схизматиками, и наконец 16 июля 1054 г. папские легаты в Константинополе провозгласили восточного патриарха Кирулария низложенным, а через 4 дня Кируларий проклял легатов и Папу Льва (он, правда, только что умер, и стал править Папа Виктор II). Диспут между церквами был и до и продолжается после раскола. Вопрос о первенстве неоднократно вставал на соборах как одной, так и другой церкви. У Святого Престола есть трудноперебиваемый козырь первопрестольности и подтверждающие высказывания первых (еще общих) отцов церкви. Если честно, аргументы восточных схизматиков - так себе. Собственно догматические разногласия, вопрос филиокве, чистилище, опресноки и др., - все же для раскола второстепенны и появились позже, а главный камень преткновения - вопрос о власти епископа Римского.