Если брать оседлое расселение, то только в 20-ом. Сейчас курды в Турции живут в тех сёлах и городах, где раньше жили армяне и греки. А так-то курды были кочевниками. Т.е, они практически всегда обитали в этих местах, но не конкретно в населённых пунктах. Они соседствовали и взаимодействовали (временами, отнюдь не дружелюбно) с местным оседлым населением. Собственно, так оно было на всей территории т.н. Курдистана. Занять постоянные населённые пункты их вынудило создание национальных государств с устойчивыми охраняемыми границами, и жёсткая политика, например, властей Турецкой республики.
Большинство исследователей сходятся в том, что курды - потомки древних мидийцев, и, возможно, парфян. Т.е, они занимались всегда тем же самым, что и в новые времена. Как уже упомянуто в одном из имеющихся ответов, во времена Византийской империи курды дислоцировались примерно там же. Возможно, какая-то часть из них христианами непродолжительное время и была, но не долго. Скорее всего, в основном поклонялись каким-то своим языческим божествам. В последнее время вошло в моду вспоминать про Зороастризм, и даже какое-то количество в них перешло (скорее всего, в знак протеста против зверств радикальных арабов-исламистов), но так-то развёрнутый культ они практиковали едва ли. А Ислам, как религия, родившаяся, в общем-то, среди тех же кочевников, быстро набрал среди них популярность.