В фильмах мы видим сцены, как полицейские "заимствуют" личный транспорт при погоне за кем-то. Насколько это распространено в жизни и как это регулирует закон?

Все законно более чем. Закон о полиции:

Статья 13. Права полиции

1. Полиции <...> предоставляются следующие права:

37) использовать в случаях, не терпящих отлагательства, транспортные средства, <...> а в исключительных случаях - транспортные средства, принадлежащие гражданам, для пресечения преступлений, преследования лиц, совершивших преступления или подозреваемых в их совершении, для доставления в медицинские организации граждан, нуждающихся в срочной медицинской помощи, для отбуксировки с места дорожно-транспортного происшествия поврежденных транспортных средств, для проезда к месту совершения преступления, административного правонарушения, к месту происшествия, отстраняя при необходимости водителей от управления этими транспортными средствами, с возмещением в установленном федеральным законом порядке по требованию владельцев транспортных средств понесенных ими расходов либо причиненного им материального ущерба.

Так что не только для погони. И последние слова тоже совсем не зря: как минимум, если вам в результате погони разнесут машину в хлам, вам все возместят. Более того, в зависимости от того, что вам испортила подобная «погоня», вы можете взыскать определенную сумму (на самолет опоздали, например, что-то важное сорвалось). Если докажете, конечно.

Обратите внимание, никаких указаний на «живой щит» нет (всех преступников можно только _преследовать_).