С точки зрения школьника скалярное произведение -- работа силы вдоль пути. Тогда векторы -- сила и путь. Но это такое нематематическое объяснение.
Во внутренней логике математики получается так. Есть векторное пространство, где векторы можно складывать и умножать на число. Мы хотим определить, что такое "длина вектора". В обычном пространстве, мы это по-житейски понимаем. А если наше пространство семимерное? А если бесконечномерное? Тогда понятие "длины" совсем не очевидно. Мы хотим так определить длину, чтобы она обладала хорошими свойствами, как обычная длина в трехмерном пространстве. И вот на этом пути возникает операция скалярного произведения, до длин, до углов, до проекций. Просто некоторая абстрактная операция, которая берет два вектора и возвращает число. А векторы здесь не отрезочки со стрелками, а абстрактные элементы векторного пространства, свойства которых заданы системой аксиом. И мы определяем это скалярное произведение так, чтобы оно изначально обладало набором хороших свойств (билинейное, симметрическое, положительно определенное). Если это сделать, получится путь к определению длины вектора в абстрактном векторном пространстве.
Если этот путь проделать честно в обычном трехмерном пространстве, получится привычная длина вектора и теорема Пифагора. В школе на это не хватит сил, времени и интеллектуального ресурса бедных детей.