Основная теорема арифметики гласит, что любое число можно разложить на простые множители единственным образом.
Был придуман такой способ шифровки сообщений (зовётся RSA), при котором для того, чтобы превратить исходное сообщение в зашифрованное, достаточно знать произведение двух чисел, а для того, чтобы расшифровать его обратно - надо знать каждое из этих чисел по отдельности.
Теперь, если мы возьмём два числа и опубликуем их произведение, каждый сможет с его помощью зашифровать своё сообщение. А вот чтобы его расшифровать, надо это произведение разложить на множители. Именно поэтому множители должны быть простыми. Например, если мы в качестве открытого ключа опубликуем число 9000, то кто угодно может в уме посчитать, что оно раскладывается на простые множители как 2^3*3^2*5^3. Дальше элементарным перебором вариантов легко найти ту пару чисел, которые были использованы для создания закрытого ключа. А вот если в качестве открытого ключа опубликовано число 8633, никаких промежуточных шагов в разложении на простые множители нет, надо сразу угадать, что оно равно 89*97.
На сегодня не существует алгоритма, способного провести разложение действительно больших чисел (не 4 знака, как в примере из предыдущего абзаца, а несколько сотен знаков) за разумное время. Это позволяет считать, что единственным человеком, способным расшифровать сообщение, зашифрованное по алгоритму RSA, будет тот, кто знает, какие простые числа были выбраны изначально.
А вот если будет доказана гипотеза Римана, из неё автоматически будет следовать, что способ быстрого разложения больших чисел на простые множители существует. А значит надежность алгоритма RSA окажется под большим вопросом.