Прежде всего, вы должны осуществлять трудовую деятельность только в том субъекте РФ, который указан в патенте (в вашем случае - в Москве). С регистрацией в МО проблем не должно возникнуть.
Вы можете дополнительно уточнить этот момент в Едином миграционном центре.