Насколько я понял вопрос - в полисе Вы являетесь страхователем. Собственник - иное лицо. Если так же Вы указаны в качестве лица допущенного к управлению - значит, с точки зрения страховой компании ездить Вы можете. Единственное что непонятно, Вы являетесь новым собственником или нет? Если собственник Ваш родственник/знакомый, и машину Вам просто дали - все ок, Вы ничего не нарушаете. Если Вы купили автомобиль по договору купли/продажи - обратитесь в свою страховую компанию с заявлением на внесение изменений, а именно - смените в полисе собственника (страхователя менять нельзя а собственника можно), и едьте в гаи на регистрацию. После этого ещё раз в страховую, что бы вписать новые документы и регзнак.
Если Вы вписаны в страховку, то конечно можете. Главное чтобы были допущены по документам. Единственное не очень понятно, что значит без оформления в ГАИ? Машина не стоит на учёте или как?