Этимологически - не связано.
Слово "ботать" (по фене), видимо, родом из слова "ботало" (с ударением на первое "о") - так раньше называли колокольчик у животных и всякие-разные слова, которые обозначают шум и треск - погремушки, топанье ногами, специальный инструмент, которым били по воде, чтобы спугнуть рыбу, ну и всё такое, в разных диалектах слово могло различаться по значению. Ну и иносказательно так называли язык человека, который трещит без умолку. Ну а позже, оно прижилось в уголовном жаргоне из-за того, что, помимо изначально подходящего значения, оно было ещё и похоже на слово "болтать".
А "ботать" (учиться) происходит от слова "ботан", то есть, ботаник. Опять-таки, предположительно, это из-за того, что ботаника, то бишь изучение растений, которая в советских школах была отдельным предметом - это наука очень на любителя, и многие дети находили её скучной. Вот и появилось прозвище для тех умников, у кого даже по ботанике хорошие оценки. В современной России ботаники уже нет, её объединили с другими науками в предмет под названием "биология" или "природоведение", но словечко прижилось.
Ну а глагол "ботать" в значении "учиться" появился гораздо позже, и как раз под влиянием той самой фени - вместо форм типа "ботанить" это слово приобрело привычную и известную форму "ботать". Так что связь между этими словами только такая, орфографическая, если можно так сказать. Смысл и происхождение у них совсем разное.
Благодарю, очень интересно 😄