Существуют. Причем это могут быть как миссии, так и обычные волонтерские программы, с той только разницей, что их организаторы - церкви и религиозные общины. Хотя есть и такие, которые проводят обычные волонтерские, негосударственные, некоммерческие учреждения в сотрудничестве с религиозными.
Если говорить о миссионерских программах, то, чтобы найти для себя подходящую, конечно, лучше обратиться в общину. Это может община при церкви, в которую вы ходите, или, например, самая крупная и многочисленная в вашем городе. Помимо миссионерских поездок, церковные общины часто устраивают христианские лагеря и другие поездки, связанные с конфессией. Я не знаю о православных общинах (хотя они, безусловно, есть), но вот самая большая католическая община в Москве Verbum Dei каждый год устраивает поездки в разные страны на встречи католической молодежи и раз в 2 года - на встречи с Папой Римским.
Поискать международные миссии можно и здесь.
Часто религиозные общины становятся самостоятельными организаторами или партнерами устроителей волонтерских лагерей и проектов. Их тематика может и не быть связана с религией или миссией - работа с детьми, пожилыми, инвалидами и прочая общественно-полезная деятельность. Пример - здесь. А бывает, что организация сама по себе не связана с религией, но один из ее проектов имеет такое направление. Пример - здесь.
Есть The Catholic Network of Volunteer Service - организация, которая проводит и миссионерские и обычные волонтерские программы, а еще разные конференции, мастер-классы и занятия.
А еще можно попробовать другой вариант - пожить в монастыре. Некоторые - от средневековых аббатств в Великобритании (фото выше) до православного храма в Румынии - принимают у себя гостей - предоставляют крышу над головой и питание в обмен на небольшую помощь в повседневных бытовых делах. Тоже своего рода волонтерство.