Об этом нам говорит теория относительности. Причем дело касается не только скоростей, близких к световым, а вообще любых скоростей: грубо говоря, у двух тел, движущихся с различной скоростью, время тоже течет по-разному.
Есть ли этому не теоретические, а экспериментальные доказательства? Да, есть: теория относительности используется, например, в работе системы глобального позиционирования (GPS). Время на движущихся спутниках течет иначе, чем на Земле. Если этого не учитывать, GPS будет определять ваше положение с постоянно возрастающей погрешностью (потому что разница во времени между вашими часами и часами спутника будет все время увеличиваться).
Так что работающий GPS в вашем смартфоне и является практическим доказательством того, что теория относительности верна и время при различных скоростях течет с разной скоростью.