Существуют ли ещё хоть какие-то реальные властные полномочия у европейских монархов?

Самые большие полномочия де юре, пожалуй, сохранились у английский монархов. В частности английский монарх - королева Елизавета II:

• Назначает премьер-министра

• Одобряет законы (т.е. может отклонить любой закон)

• Имеет право распустить правительство

• Объявляет войну и заключает мир

• Принимает решение об аннексации или отказе от каких-либо территорий
• Является верховным главнокомандующим
• Является главой англиканской церкви
  Помимо этого английский монарх является одновременно главой Австралии и Канады (а также ещё 13 стран), где она назначает генерал-губернаторов, которые от её имени осуществляют различные полномочия. Среди таких полномочий, например, назначение премьер-министра, назначений судей, право роспуска парламента, одобрение законов и т.п.

Разумеется, все эти полномочия реализуются номинально (т.е., например, всегда назначается премьер-министр от правящей партии, все законы всегда одобряются и т.д.). Однако кроме традиций ничто не ограничивает возможность английского монарха реально использовать эти полномочия.