Самого большого простого числа не существует. Доказательство достаточно простое.
Предположим, что есть самое большое простое число. Тогда простых чисел всего должно быть конечное количество: начиная от самого большого, и вниз до числа 2. Возьмем все эти простые числа, и перемножим. Если я перемножаю конечный набор чисел, то получается какое-то конечное число. Может быть, безумное, грандиозное, гротескное: 10 в 10-й в 10-й степени и так далее, многоэтажные башни степеней, но все-таки конечное. Прибавляем к нему единицу. Вопрос: на какие числа может делиться это огромное число плюс один? Прежде всего заметим, что если оно делится хоть на какое-то число, то постепенно, выделяя все меньшие и меньшие делители, мы в конце концов дойдём до простого делителя нашего числа. Тем самым мы установили, что любое число либо само является простым, либо делится на какое-то из простых меньших чисел. Но дело в том, что это число по построению не может делиться ни на одно из простых чисел, потому что предыдущее перед ним число делилось на них все. Но ведь делимость на фиксированное (простое или нет — неважно) число наступает через промежутки, равные этому числу. Получается, что построенное нами число не может быть ни составным (ибо оно не делится ни на какое простое), ни простым (потому что простые мы уже все перебрали). Таким образом мы приходим к математическому (логическому) противоречию, доказывающему, что самого большого простого числа существовать не может.
Это я воспроизвёл один в один доказательство самого Евклида!