Как верно отметил Андрей Ларионов это относится к ведению Архиерейского собора. Пожалуй самый известный случай связан с опалой патриарха Никона. Когда в 1667 г. Никон был извержен из патриаршества. Причем главной причиной называло то, что патриарх обидел царя.
Существует:
> 12. Право рассмотрения вопроса об уходе Патриарха Московского и всея Руси на покой принадлежит Поместному Собору. Право суда над Патриархом Московским и всея Руси принадлежит Архиерейскому Собору, действующему в... Читать далее
Петиции никто не отменял. Общественное мнение в России много значит. Общественное мнение можно создать и/или организовать. Если большое количество людей будет за "импичмент", то я уверен, он произойдёт.