Существует ли число «бесконечность»? Правда ли, что это число, принимающее любое значение?

Такого числа нет. Одна из причин - это то, что "числами" принято называть объекты, над которыми можно производить арифметические операции, а над бесконечностью операции нельзя определить так, чтобы эти операции обладали общепринятыми свойствами. При этом в других, нечисловых системах математических объектов, бесконечность иногда удобно добавить в виде явного объекта. Например, есть виды геометрий, в которых добавлена "точка на бесконечности", и в топологических пространствах иногда можно бесконечно удаленную точку добавить. Но это нечисловые системы