Существует ли число «бесконечность»? Правда ли, что это число, принимающее любое значение?

Бесконечность это не число, а понятие, абстракция. В математике бесконечность означает буквально "отсутствие конца", "неограниченность". Бесконечность в математике следует рассматривать в первую очередь как свойство какого-то множества объектов либо итеративного процесса. Во вторую очередь - как знак, участвующий в определённых записях, конструкциях, обозначениях, несущий определённый смысл только в таких записях. Поскольку обозначение и название относительно удобные - знак и название употребляется в различных записях и поэтому получил распространение и кажется, что он имеет значение сам по себе, однако это не так.

Что касается языков программирования: в некоторых процессорах в результате выполнения операций может случиться переполнение регистра или понимание недопустимости операции - например вычисление квадратного корня из -1 - в таких случаях в регистр записывается особое значение. Часто таких значения 3: -Infinity, Infinity и NaN. Это, соответственно, минус бесконечность, плюс бесконечность и "не число".

Соответственно в языках программирования надо как-то обрабатывать эти значения, для чего могут вводиться соответствующие понятия. При этом в каждом языке эти понятия могут трактоваться по-своему. В каких-то языках деление на 0 вызовет исключение, в каких-то результат такого деления даст Infinity с соответствующим знаком. Извлечение корня из -1 в JavaScript выдаст значение NaN. При этом JavaScript даёт проводить дальнейшие математические операции с такими значениями. Все математические операции, где один из операндов NaN дадут в итоге NaN. C Infinity веселее - его поведение похоже на поведение бесконечности в математических пределах. Например:

1/Infinity => 0
Infinity - 100000 => Infinity
Infinity + Infinity => Infinity
Infinity - Infinity => NaN

При этом JavaScript нас немного путает, так как при проверке типов -Infinity, Infinity и NaN JavaScript говорит нам, что это числа (typeof NaN === "number") и к этому есть нарекания. Однако даёт и средства для проверки, является ли что-то NaN или "безопасным числом", иными словами - не является ли что-то -Infinity, Infinity или NaN.