Вычислять владельца квартиры по соц.сетям или нет - дело вашего свободного времени. Для успешной сделки на деньги гораздо важнее другое.
Если вы снимаете на длительный срок, то заключайте договор сразу на год, как минимум. И постарайтесь включить в договор пункт о том, как и когда цена на жилье будет пересматриваться. Это совершенно нормально. И вообще, что входит в аренду, а что нет (какие-нибудь ремонты, платежи). Конечно, хозяин может заартачиться, но это и будет сигналом, что вас собираются регулярно обдирать. Так что, если не хотите переплачивать, потратьте время на поиск жилья, где вам пойдут навстречу в плане договора. В Москве предложений много - все равно найдете. А если ваш квартировладелец так часто меняет цену, значит ваши договоренности о цене (или вообще аренде) ничем не подтверждены - он может делать все, что позволит его совесть.
Без договора не соглашайтесь на аренду ни в коем случае. Некоторые ушлые домовладельцы мотивируют тем, что не хотят платить налоги. Так вот, пока договор не зарегистрирован в налоговой, ничего он не платит. Зато судом такой договор признается, но никто и не захочет доводить до суда.
Говорю как человек, который уже 15 лет снимает жилье и не парится.