Попробуйте обновиться до последней версии Инстаграма, может быть проблема в этом. Еще совет - зайдите через компьютер и попробуйте открыть сообщения, и проверьте запросы на переписку.
Проверьте возрастные ограничения в настройках своего аккаунта. Если они есть - снимайте.
У меня была подобная ситуация, помог именно этот способ, сам допер до него,