Скажите, возможно ли запитать электричеством электроприбор от раствора электролита, находящегося под напряжением?

Задача на мой взгляд странная, но решаемая и даже не сложная. Забрать ток можно точно так же, как и подвести: погрузите в электролит провод - и вот Вам "фаза" для питания потребителя. Второй полюс потребителя будет соответственно "нулём".

Электролит будет проводить ток, пока он будет оставаться проводящей средой. Не знаю точно насчёт раствора гидроксида натрия в Вашем примере, но предположу, что как и электролит из свинцово-кислотных АКБ (36-40% водный раствор серной кислоты), будет проводить до тех пор, пока потеря воды (вследствие испарения/электролиза) в составе электролита не станет критической.

В моём понимании поставленная задача выглядит так: есть проводник (металлический кабель, к примеру медный, т.к. алюминий будет активно реагировать с гидроксидом натрия вплоть до полного растворения), по которому ток от источника подаётся к электролиту, проходит через электролит и опять по кабелю подаётся уже к потребителю. Электролит тоже проводник, но из-за агрегатного состояния неудобен для подведения к потребителю. Зачем участок цепи представлен проводником в виде жидкого электролита, не очень понятно. Это неудобно и нерационально.