Сингулярность, что это?

В математике

В математике сингулярность - это точка, в которой данный математический объект не определен, или точка, в которой математический объект перестает хорошо себя вести определенным образом, например, из-за отсутствия дифференцируемости или аналитичности.

======================================

В математическом анализе особенности - это либо разрывы, либо разрывы производной (иногда также разрывы производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I, который имеет два подтипа, и тип II, который также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).

======================================

Комплексный анализ (одной переменной )

Предположим, что U - открытое подмножество комплексных чисел C, причем точка a является элементом U, а f - комплексная дифференцируемая функция, определенная в некоторой окрестности вокруг a, за исключением a: U \ {a}, тогда:

Точка a является устранимой особенностью f, если существует голоморфная функция g, определенная на всем U, такая, что f (z) = g (z) для всех z в U \ {a}. Функция g является непрерывной заменой функции f.

Точка a является полюсом или несущественной особенностью функции f, если существует голоморфная функция g, определенная на U с g (a), отличным от нуля, и натуральное число n такое, что f(z) = g (z)/(z - а)^n для всех z из U\{a}. Наименьшее такое число n называется порядком полюса. Сама производная в несущественной особенности имеет несущественную особенность, причем n увеличивается на 1 (кроме случаев, когда n равно 0, так что особенность устранима).Точка a является существенной особенностью f, если она не является ни устранимой особенностью, ни полюсом. Точка a является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечно много степеней отрицательной степени.

============================================

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. Они называются неизолированными особенностями и бывают двух типов: Точки скопления: предельные точки изолированных особенностей. Если все они являются полюсами, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана для каждого из них, то такое разложение невозможно на его пределе.

===========================================

Естественные границы: любое неизолированное множество (например,кривая),на котором функции не могут быть аналитически продолжены вокруг (или вне их, если они являются замкнутыми кривыми в сфере Римана).

==========================================

Точки ветвления

Точки ветвления обычно являются результатом многозначной функции,такой как sqrt(z) или log(z)}, которые определены в определенной ограниченной области, так что функция может быть однозначной в пределах области. Разрез - это линия или кривая,исключенная из области,чтобы ввести техническое разделение между прерывистыми значениями функции. Когда разрез действительно требуется,функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза ветки. Форма сечения ветви - вопрос выбора, даже если она должна соединять две разные точки ветвления (например, z=0 и z=infinity для log (z), которые закреплены на месте.

===========================================

В алгебраической геометрии особенность алгебраического многообразия - это точка многообразия, в которой касательное пространство не может быть определено правильно. Например, уравнение y^2 - x^3=0 определяет кривую, которая имеет острие в начале координат x = y = 0. Можно определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не может быть таким же, как у определение в других точках. Фактически, в этом случае ось x представляет собой «двойную касательную».

=================

В физике

=================

Гравитационная сингулярность, сингулярность пространства-времени или просто сингулярность - это состояние, в котором гравитация настолько сильна, что само пространство-время разрушается катастрофически. Таким образом, сингулярность по определению больше не является частью регулярного пространства-времени и не может быть определена с помощью «где» или «когда». Попытка найти полное и точное определение сингулярностей в общей теории относительности, лучшей на сегодняшний день теории гравитации, остается сложной задачей. Особенность в общей теории относительности может быть определена тем, что скалярная инвариантная кривизна становится бесконечной или, что лучше, неполной геодезической.

Гравитационные сингулярности в основном рассматриваются в контексте общей теории относительности, где плотность очевидно становится бесконечной в центре черной дыры, а также в астрофизике и космологии как самое раннее состояние Вселенной во время Большого взрыва/Белой дыры. Физики не уверены, означает ли предсказание сингулярностей, что они действительно существуют (или существовали в начале Большого взрыва), или что текущих знаний недостаточно для описания того, что происходит при таких экстремальных плотностях.

Общая теория относительности предсказывает, что любой объект, коллапсирующий за пределами определенной точки (для звезд это радиус Шварцшильда), образует черную дыру, внутри которой образуется сингулярность (покрытая горизонтом событий). Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях определяют, что особенность имеет геодезические, которые не могут быть продолжены гладким образом . Окончание такой геодезической считается особенностью.

Исходное состояние Вселенной в начале Большого взрыва также предсказывается современными теориями как сингулярность. В этом случае Вселенная не коллапсировала в черную дыру, потому что известные в настоящее время расчеты и пределы плотности для гравитационного коллапса обычно основаны на объектах относительно постоянного размера, таких как звезды, и не обязательно применимы таким же образом к быстрому коллапсу. расширяющееся пространство, такое как Большой взрыв. Ни общая теория относительности, ни квантовая механика в настоящее время не могут описать самые ранние моменты Большого взрыва, но в целом квантовая механика не позволяет частицам населять пространство меньше их длины волны.

Многие теории в физике имеют те или иные математические особенности. Уравнения этих физических теорий предсказывают, что шар массы некоторой величины становится бесконечным или неограниченно увеличивается. Обычно это признак того, что в теории недостает элемента, как, например, ультрафиолетовая катастрофа, перенормировка и нестабильность атома водорода, предсказываемые формулой Лармора.

В классических теориях поля, включая специальную теорию относительности, но не в общей теории относительности, можно сказать, что решение имеет сингулярность в определенной точке пространства-времени, где определенные физические свойства становятся плохо определенными, а пространство-время служит фоновым полем для определения сингулярности. С другой стороны, сингулярность в общей теории относительности более сложна, потому что само пространство-время становится некорректным, и сингулярность больше не является частью регулярного пространственно-временного многообразия. В общей теории относительности сингулярность не может быть определена словами «где» или «когда».

Некоторые теории, такие как теория петлевой квантовой гравитации, предполагают, что сингулярности может не существовать . Это также верно для таких классических теорий единого поля, как уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака. Идею можно сформулировать в том виде, что из-за эффектов квантовой гравитации существует минимальное расстояние, за пределами которого сила тяжести больше не продолжает увеличиваться по мере того, как расстояние между массами становится короче, или, альтернативно, волны взаимопроникающих частиц маскируют гравитационные эффекты, которые будет ощущаться на расстоянии.

Источник https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_singularity

Про математику уже все очень подробно

А вот про ее приложения...

Если очень коротко: сингулярность это точка, в окрестности которой предлагаемая теория не работает. Так и нужно относится к всевозможным "технологическим сингулярностям" и прочим предсказаниям бесконечных величин.

Ну, представьте себе, что родился ребёнок ростом 52 см, и каждую неделю подрастает на 1 см. Если экстраполировать этот процесс в прошлое, можно придти к выводу, что за 52 недели до рождения рост этого ребёнка составлял 0 см, то есть ребёнок был сингулярностью. Понятное дело, что эта экстраполяция некорректна, потому что закон роста на 1 см в неделю не всегда работал в прошлом (да и в будущем не всегда будет работать).

Можно сказать, что сингулярность — это когда по какой-то нормально работающей в обычных условиях формуле вдруг получается чепуха (например, деление на ноль). Это значит, что в данной конкретной ситуации формула не работает, несите другую.

на картинке - гравитационный колодезь, сингулярность пока не видно - она там, на дне скорее всего спряталась. По пути к дну колодца вообще говоря всякое может случиться - и даже непоправимое. Так что узреть дно стакана наверное не получится - остаются классические случаи из нашей обычной жизни - когда выпивая стакан мы точно дно увидим... Аналог сингулярности - это недостижимая область куда например стремится график 1/x при стремлении икса к нулю - рядом то рядом с осью гипербола но все-ж никогда не на оси. Как в дыре - конечно пока не ясно. но сингулярность в дырах вполне может быть но потрогать ее наверное нельзя - ибо связность пространства может нарушаться - и попасть из пункта А в пункт S (в сингуляр) нет никакой возможности. Также - может ли вся упавшая в дыру масса (энергия) сидеть одновременно на одной голой точке реальности... говорят что бозоны любят сидеть на одном стуле - они коллективисты. Обычная барионная материя вроде не любит на одном стуле умещаться... Физикам надо устроить очную ставку по этой теме. И посадить юриста чтобы записал и потом призвал их к ответу на вопрос - либо первое либо одно из двух.