Тут уже дали несколько хороших ответов, но мне кажется упустили веселые и безумные аниме (а за безумие лично я и люблю японию :). Постараюсь здесь не повторяться.
Azumanga Daioh - сериал про школьниц. Абсолютно не ненапряжный сериал, нету никакой драмы, но есть неплохой но своеобразный юмор.
И еще пара сериалов на ту же тему:
Jungle wa Itsumo Hare nochi Guu - приключения простого мальчика, живущего в джунглях, и очень непростой девочки.
Oruchuban Ebichu - аниме про непростую жизнь домашнего хомячка. Юмор, милота и немного 18+
Не знаю как в целом охарактеризовать следующие аниме, скажем приключенческие:
Trigun - один из шедевров аниме. Вестерн, действе которого разворачиваются на другой планете. Бандиты, перестрелки, пустыня, сайфай. И все это не печально депресивное а с большой долей юмора.
Меха
Neon Genesis Evangelion - просто мое любимое аниме ) Здесь его уже советовали не начинать с него, но мне кажется это отличный вариант если вы любите фантастику, психологию, драму. Ну и гигантские роботы. (если все же будете смотреть, обязательно посмотрите также и Конец Евангелиона)
FLCL - опять немного безумия. Некая пародия на тот же Евангелион.
Хаяо Миядзаки: про Унесенных призраками и Ходячий замок уже говорили, посоветую Laputa: The Castle in the Sky, The Wind Rises и Porco Rosso.
Также советую смотреть Макото Синкай: За облаками, Твоё имя и Сад изящных слов.
Я бы посоветовал начать с сёнена, например, jo-jo, naruto, bleach. Они легко смотрятся/читаются, и сюжет интересный. Евангелион я бы точно не советовал, потом отпадет желание смотреть аниме совсем