Родственники часто говорят, что я отвечаю по-жидовски. Что именно это значит и как от этого избавиться?

Как уже ранее было сказано, "жид" - пренебрежительная версия слова "еврей". 

Обычно под "жидовскими" ответами подразумевают ответы вопросом на вопрос и/или уклончивые ответы. Иногда подобное поведение полезно для результата определённого общения, иногда же может раздражать, как вот ваших родственников. Так что подобное за собой лучше замечать и регулировать в зависимости от ситуации.

Привязка к национальности сложилась ввиду всяких стереотипов, а с реальностью, понятное дело, не имеет почти ничего общего.