Докажите и объясните понятным языком, почему же два базиса одного линейного пространства имеют одинаковое количество векторов?

Для всякого линейного пространства главной характеристикой является его размерность - то есть минимальное количество векторов, через линейную комбинацию которых можно представить вообще любой вектор этого пространства. Так вот, те вектора, через линейную комбинацию которых мы представляем любой другой - и есть базис. Если пространство трехмерно, то и базис, естественно, состоит из трех векторов, т.к. двух тупо не хватит, а четыре - не минимальный набор.

P.S. Углы между векторами базиса не обязательно 90⁰, я так нарисовал, т.к. нам так привычнее, а их скалярное произведение тоже не обязательно равно 1.