Повлияет ли развитие левой руки (научиться писать левой рукой ) на умственные способности?

Любое обучение-развитие влияет и на сам организм и на умственные способности. И это относится не только к лево-право, а и к занятости-свободности, напряженности-расслабленности.

Примеры.

Попробуйте с занятыми руками сделать ногами то, что обычно делаете руками. Например, включить свет, подвинуть стул, стоя на одной ноге, что-то подержать на поднятом колене, а не в руках, пока они заняты другими операциями.

Если вы в какой-то момент что-то напрягаете, причем сильно, попробуйте напрячь те части тела, которые не участвуют в таком движении и почувствуете компенсацию и даже как бы помощь самого тела в выполнении действий.
Также и с расслаблением — если заметили, что что-то ненужно напрягается в данный момент, расслабьте это осознанно и ощутите сразу прилив сил и новые возможности управления организмом.

И это все будет влиять и на умственные способности. По крайней мере, в отношении «а что — так тоже можно?» Ну, а далее тренировки и вот вы уже освоили еще что-то в этой жизни.

Здесь главное — внимание и позволение себе расширять свои адаптационные возможности в жизни.