Помогите решить следующую математическую задачу.
Два человека выходят одновременно из пункта A в пункт B (расстояние между ними S). Первый человек идет со скоростью V1, а второй со скоростью V2 (V1 не равно V2 в общем случае). Тот, кто идет быстрее (предположим, что первый) доходит до пункта B разворачивается и идет в обратную сторону до встречи со вторым, в момент встречи первый разворачивается и опять идет к пункту B и так далее пока второй не достигнет B. Считаем, что развороты это нулевые по времени события. Как найти путь, который прошел первый с заданной точностью? Ощущение, что надо смотреть в сторону рекурентных рядов, но не получается найти зависимость между n и n-1 членом ряда.
Проще всего решать через время. Второй человек шел время t = S/V2. Такое же время шел и первый, поэтому его путь V1t = SV1/V2.
Приведу также решение через ряды, для общего развития. Пусть Sn — расстояние до пункта B после n-ой встречи. Тогда можно получить Sn+1 = Sn(V1 - V2)/(V1 + V2) (примем S0 = S). Пусть Xn — расстояние, прошедшее первым человеком от n-ой до (n+1)-ой встречи. Опять же, нетрудно получить Xn = 2SnV1/(V1 + V2). Тогда его общий путь равняется сумме всех таких путей: X0 + X1 + X2 + ... = (2V1/(V1 + V2)) (S0 + S1 + S2 + ... ) = (2V1S/(V1 + V2)) (1 + (V1 - V2)/(V1 + V2) + ((V1 - V2)/(V1 + V2))^2 + ...). Сумма в скобках — геометрическая прогрессия со знаменателем q = (V1 - V2)/(V1 + V2). Ее сумма равна (V1 + V2)/2V2. Тогда общий путь равен 2V1S(V1 + V2)/2V2(V1 + V2) = SV1/V2.
Не надо смотреть на рекуррентные ряды.
Надо найти время, которое потратил на путешествие первый. Оно такое, какое потратил второй, то есть S/V2. Раз время знаем, скорость знаем, то и расстояние, которое прошел первый, найдем: SV1/V2