Нет, не надо.
Закон не обязывает гражданина иметь подобную отметку в паспорте.
Если гражданину неймётся и он хочет по-максимуму наляпать в свой паспорт разных печатей, то данная процедура (постановка печати) гражданину не будет стоить ни копейки.
P.S.
Чтоб поставить в известность военкомат о новом номере паспорта, достаточно того, что через сайт «госуслуги» внести в «л.к.» изменения в информацию о новом паспорте. Примерно в течении недели, информация поступит в военкомат. Личного присутствия гражданина– не требуется.