Геометрическое изображение комплексного числа Z=X+iY (X=Re(Z), Y=Im(Z) - вещественные) - это точка с координатами X и Y.
Соответственно, квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов этих координат (хотя бы, по определению модуля комплексного числа), а сам модуль - это длина отрезка (или вектора) между началом координат - точкой 0=(0,0) - и точкой Z=(X, Y).
Но уже произведение двух комплексных чисел отличается от скалярного произведения двух векторов с "их" координатами. Здесь геометрическое изображение уже не работает: это всего лишь удобная иллюстрация, а не суть компоексного числа. А уж вектор в роли аргумента экспоненциальной, логарифмической или тригономерической функции - это и вовсе нечто несусветное, тогда как комплексное число, реально являясь скаляром (невектором), может быть аргументом этих и многих других функций.
С вещественной осью модуль связан также, как и со мнимой: квадрат модуля равен сумме квадратов "координат" на этих осях.